CONSTRUCCIÓN DE LA HIPÉRBOLA POR PUNTOS

veremos una forma mas sencilla  de construir una hipérbola, conociendo el eje real (V1V2=2a)  y la distancia focal (F1F2=2c);

1. dibujamos la linea del eje focal E, sobre la cual marcamos los dos vertices V1 Y V2 su centro es O, equidistante de ellos una distancia a, también marcamos los dos focos equidistantes del centro O una distancia c,
2. sobre el mismo eje y a partir del segmento 2c hacia afuera, marcamos unos puntos cualquiera. suponiendo que los puntos fuesen  : P1, P2, P3, P4, 
3. en cada uno de ellos con un compás tomamos dos radios : r = P1V1  y r' = P1V2.
4. con estos radios y centros en los dos focos F1 y F2, trazamos arcos. los cuatro puntos donde se cortan son puntos de la hipérbola.
5. repetimos el proceso con P2, P3 Y P4,
6. si unimos los puntos obtenidos, apoyandonos sobre las asintotas. obtendremos la  hiperbola.
7. vemos que cada uno de esos puntos cumple ri-ri' = d1-d2 = 2a, que como se han trazado con centro en los dos focos, cumple la definicion de la hiperbola. 
8. 

ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA

la hipérbola  tiene los siguientes elementos:

• FOCOS: son los dos puntos fijos F1 Y F2
• RADIO VECTOR : es la distancia R de un punto de la hipérbola  (P) a cualquiera de los focos. 
• EJE FOCAL: también llamado eje transverso, es el eje de simetría (E) que une a los dos focos.
• EJE NO TRANSVERSO:  es la mediatriz (T) del eje focal.
• CENTRO: es el punto medio O de los dos focos, se puede definir como  la intersección del eje focal y el transverso.
• VÉRTICES: son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola (V1 Y V2).

• DISTANCIA FOCAL : es la distancia 2c entre focos, también denotada F1F2.
• EJE REAL: es la distancia 2a entre vertices.
• EJE IMAGINARIO: es la distancia 2b de los puntos B1 y B2 y estos puntos se generan por las relaciones entre semiejes. existe una relación entre los semiejes  y la distancia focal. 

• ASÍNTOTAS: son las lineas rectas (A1 Y A2) que se aproximan a la hipérbola en el infinito.

• 
• PUNTOS INFERIORES Y EXTERIORES: La hipérbole divide el plano en tres regiones. dos regiones que contienen un foco cada una y otra región sin ningún foco , los puntos contenidos en las regiones con un foco se llaman interiores (l), y los otros exteriores (Ex).
• TANGENTES DE LA HIPÉRBOLA : sobre cada punto Pi de ambas ramas de la misma.. cada tangente es la bisectriz de los dos radios vectores del punto Pi. 

• CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL: (CP), su radio r=a y su centro en O. es el lugar geométrico de las proyecciones de un foco sobre las tangentes.
• DIRECTRICES DE LA HIPERBOLA: son dos rectas paralelas al eje transverso (D1 Y D2) su distancia a cada una es a/e (e  es la excentricidad de la hipérbola). pasan por las intersecciones de la circunferencia principal con las asintotas  (A1 Y A2).

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ECUACIONES

ECUACIÓN GENERAL 

también llamada ecuación reducida, se da cuando en la hipérbola los ejes coinciden con los ejes coordenadas, y por ende, el centro de la hipérbole con el origen de las coordenadas .

si el eje real esta en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

F'(-C,0) y  F(C,0)

Cualquier punto de la  hipérbola cumple : 

la anterior expresión da lugar a:

se realiza las operaciones y tenemos que :

CON CENTRO EN EL ORIGEN :
cuando su centro es es 0= (0,0)  la ecuación es :

LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA SE PUEDE EXPRESAR CUANDO SU CENTRO ES 0= (01,02) DE LA SIGUIENTE MANERA :



EJEMPLOS: veamos el dibujo de distintas hipérbolas según su ecuación :

• -3x²+y²=-0,5
• -2x²+y²=-0,5
• -x²+y²=-0,5
• -0,5x²+y²=-0,5
• -0,2x²+y²=-0,5

LA HIPÉRBOLA

 la hipérbola es una curva abierta de dos ramas, se produce por la intersección de un cono circular recto y un plano que corta las dos secciones.

una hipérbola es el conjunto de puntos (x,y) para los cuales la diferencia de sus distancias a dos puntos distintos  prefijados (llamados focos ) es constante:

INTRODUCCION

las cónicas son uno de los conjuntos de curvas mas importantes y mas utilizados en las distintas ciencias.

las curvas cónicas  han sido estudiadas por matemáticos de la escuela griega hace muchos años. Dentro de estas cónicas se encuentra la hipérbola, que puede ser definida como una curva plana que por su simetría, tiene dos focos